이 내용을 알기 위해서는 Econometric 1. Instrument Variable 을 이해해야합니다
모든 사람은 다르다. 따라서 각자의 반응도 자연스럽게 다르다.
지난 포스팅에서는 처치 효과가 모든 사람들에게 똑같은 크기로 일어날 때 IV를 이용하여 해결할 수 있다고 이야기를 했다. 그러나 처치 효과가 모든 사람들에게 굳이 똑같이 일어날 이유가 없지 않는가? 다시 말해,
$$ Y_{i1}-Y_{i0}=\rho\quad \forall i\in I $$
일 이유가 없다. 그러나, 실제로 regression을 돌렸을 때 나오는 $\rho$값은
$$ \hat{\rho} = \mathbb{E}[Y_{i1}-Y_{i0}|X=x] $$
이기 때문에, 사실 이 효과가 정말로 constant인지, 아니면 사람마다 다 처치효과가 다른데도 불구하고 평균이 $\rho$인지 알 방법이 없다. 그런데 만약 이 효과가 constant가 아니라 사람마다 처치효과가 다 다르다고 생각한다면, 몇가지 조건을 통해서 저런 $\rho$ 값이 'instrument variable'에 순응하는 사람들의 처치효과 평균이라고 해석할 수 있다. 이를 보고 국지적 처치 효과 (Local Average Treatment Effect), 혹은 LATE Theorem이라고 부른다.
LATE theorem이 왜 make sense할까? 사실 생각해보면 당연하게 생각할 수도 있다. 우선 지난 포스팅에서 사용했던 예시를 다시 가져와보자.
온라인 교육 시장에서 쿠폰을 사용하지 않고 구매한 사람들이 쿠폰을 사용하여 구매한 사람보다 더 완강을 많이 하는지를 알고 싶다. 여기서 사용하는 instrumental variable은 사람들에게 쿠폰 리마인더 노티 발송 여부이다. 이 회사에서는 쿠폰을 매 주말마다 뿌리지만, 사람들이 인지를 못해서 몇몇 사람들에게 리마인더 노티를 발송시킨다. 특별히, 간단한 논의를 위해 랜덤으로 10,000명에게 리마인더 노티를 발송했다고 하자.
그러면 리마인더 노티를 받았을 때 쿠폰을 사용할 확률이 안 받았을 때보다 당연히 높아질 것이다. 그리고 리마인더 노티를 받았거나 안받았거나는 완강에 직접적으로 영향을 미치지 않고, 오로지 쿠폰 사용 여부에만 영향을 받을 것이다.
마지막으로, 직관적으로 중요하지 않지만 증명할때 중요한 가정이 하나 있다. 바로, "리마인더 노티를 받았는지 여부"와 "완강 여부", "쿠폰 사용 여부"는 모두 독립적이라는 가정이다. 이는 조금 어려운데, 예를 들어서 A가 리마인더 노티를 받았을 때 완강을 80% 확률로 하고 안받았을 때는 30%로 한다고 가정해보자. 그런데 정말로 A가 리마인더 노티를 받았을 때 완강을 60%나 50%등으로 달라지면 안된다는 이야기이다. 즉, 실제로 관측된 데이터에 따라서 잠재 변수들이 달라지면 안된다는 뜻이다.
그렇다면, 우리의 추정치인
$$ \rho=\mathbb{E}[Y_{i1}-Y_{i0}] $$
이 녀석은 사실 "원래는 쿠폰 사용을 안하려고 했다가 노티를 받고 쿠폰을 사용한 사람들"의 처치효과 평균이다!
첫 번째는 우리의 첫번째 가정인 "노티를 받으면 쿠폰을 사용할 확률이 높아진다"는 것에 있는데, 다르게 말하자면 원래 쿠폰을 사용하려 했는데 노티를 받고 쿠폰을 사용하지 않는 사람들(Deflier)이 사라졌기 때문이다.